Question

已知關于x的一元二次方程x²-x+m-

3

4

=0有兩個實根x₁、x₂，
（1）求m的取值范圍；
（2）設反比例函數(shù)y=

m2

x

（x＞0），正比例函數(shù)y′=（x₁+x₂）x，
①若x₁=x₂，求兩函數(shù)圖象的交點坐標；
②若點P（s，t）在反比例函數(shù)y=

m2

x

，（x＞0）的圖象上，當s＞1時，試用函數(shù)的性質比較t與m的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式求出△=（-1）²-4×1×（m-

3

4

）≥0，即可得出m的取值范圍；
（2）①根據(jù)x₁=x₂，得出△=（-1）²-4×1×（m-

3

4

）=0，得出m的值，再利用

1

x

=x，求出即可；
②根據(jù)點P（s，t）在反比例函數(shù)y=

m2

x

，得出st=m²，進而得出答案．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-x+m-

3

4

=0有兩個實根x₁、x₂，
∴△=（-1）²-4×1×（m-

3

4

）≥0，
解得：m≤1，
∴m的取值范圍：m≤1，
（2）∵反比例函數(shù)y=

m2

x

（x＞0），正比例函數(shù)y′=（x₁+x₂）x，
①x₁=x₂，
∴△=（-1）²-4×1×（m-

3

4

）=0，
∴m=1，
∴x²-x+1-

3

4

=0，
∴x²-x+

1

4

=0，
∴x₁+x₂=-

b

a

=1，
∴反比例函數(shù)y=

m2

x

=

1

x

（x＞0），正比例函數(shù)y′=（x₁+x₂）x=x，
∴

1

x

=x，
解得：x=1，（-1舍去）
∴y=1，
∴兩函數(shù)圖象的交點坐標為：（1，1）；
②∵點P（s，t）在反比例函數(shù)y=

m2

x

，（x＞0）的圖象上，
∴st=m²，
當s＞1時，
∴

m2

t

=s＞1，
∴m²＞t，

點評：此題主要考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，在解不等式時一定要注意數(shù)值的正負與不等號的變化關系．