Question

【題目】在ΔABC中點D為BC上一點，E為AC上一點，連接AD、BE、DE，已知BD=DE，AD=DC，∠ADB=∠CDE.

（1）如圖1，若∠ACB=40°時，求∠BAC的度數.

（2）如圖2，F是BE的中點，過點F作AD的垂線，分別交AD、AC于點G、H，求證：AH=CH.

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）易證ΔADB≌ΔCDE，得∠ACB=∠DAC=∠DAB=40°，故∠BAC=80°；

（2）延長HF至點M使FM=FH，交AB于點N，連接BM、DH、DN，得ΔBMF≌ΔEHF，得BM=EH，∠EHF=∠M，結合（1）的結論可證明ΔAGN≌ΔAGH得BM=BN=EH，利用線段垂直平分線的性質得DN=DH ∠ADN=∠ADH，從而可證ΔBDN≌ΔEDH，繼而證出∠ADH=∠CDH，進一步得出：AH=CH

試題解析：

簡要過程：

（1）∵ΔADB≌ΔCDE （SAS）

∴∠ACB=∠DAC=∠DAB=40°

∴∠BAC=80°

（2）延長HF至點M使FM=FH，交AB于點N，連接BM、DH、DN

∴ΔBMF≌ΔEHF

∴BM=EH，∠EHF=∠M

由①得∠DAC=∠DAB，且FH⊥AD

∴ΔAGN≌ΔAGH

∴∠ANG=∠AHG

∵∠ANG=∠BNM

∴∠M=∠BNM

∴BM=BN=EH

∵ΔADN≌ΔADH（或用中垂線的性質）

∴DN=DH ∠ADN=∠ADH

∴ΔBDN≌ΔEDH（SSS）

∴∠BDN=∠EDH

∴∠ADB-∠BDN=∠CDE-∠EDH

∴∠ADN=∠CDH

∴∠ADH=∠CDH

∴AH=CH