Question

如圖，已知點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，在四邊形PMON上分別截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．問：在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：如圖，連接CD、DE、EF、FC，

同理可證：△CDM≌△FEN，∴CD=EF。

∵CF=DE，CD=EF，∴四邊形CDEF是平行四邊形。

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形，

設(shè)矩形PMON的邊長PM=ON=m，PN=OM=n，則PC=m，MC=m，MD=n，PF=n。

若四邊形CDEF為矩形，則∠DCF=90°，易證△PCF∽△MDC，

∴，即，化簡得：m²=n²。

∴m=n，即矩形PMON為正方形。

∴點(diǎn)P為拋物線與坐標(biāo)象限角平分線y=x或y=﹣x的交點(diǎn)。

聯(lián)立，解得。

∴P₁（），P₂（）。

聯(lián)立，解得。

∴P₃（3，﹣3），P₄（﹣1，1）。

∴拋物線上存在點(diǎn)P，使四邊形CDEF為矩形．這樣的點(diǎn)有四個，在四個坐標(biāo)象限內(nèi)各一個，其坐標(biāo)分別為：P₁（），P₂（），P₃（3，﹣3），P₄（﹣1，1）。

【考點(diǎn)】單動點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，矩形、正方形的判定和性質(zhì)，全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。