Question

如圖，等腰直角三角形紙片ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，直角邊AC在x軸上，B點(diǎn)在第二象限，A（1，0），AB交y軸于E，將紙片過E點(diǎn)折疊使BE與EA所在直線重合，得到折痕EF（F在x軸上），再展開還原沿EF剪開得到四邊形BCFE，然后把四邊形BCFE從E點(diǎn)開始沿射線EA平移，至B點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)停止．設(shè)平移時(shí)間為t（s），移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度，平移中四邊形BCFE與△AEF重疊的面積為S．
（1）求折痕EF的長；
（2）是否存在某一時(shí)刻t使平移中直角頂點(diǎn)C經(jīng)過拋物線y=x²+4x+3的頂點(diǎn)？若存在，求出t值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)檎郫B后BE與EA所在直線重合推出EF=EA，OA=OE=1，可求出AE，EF的值．
（2）設(shè)CP∥BA交Y軸于P，推出△POC為等腰直角三角形，求出點(diǎn)C移動(dòng)的水平距離后可求出時(shí)間．
（3）本題考查的是分段函數(shù)的知識(shí)．
解答：解：（1）∵折疊后BE與EA所在直線重合
∴FE⊥EA又Rt△ABC中AC=BC
∴∠CAB=45°
∴EF=EA
∵A（1，0）
∴OA=OE=1，AE=
∴折痕EF=．

（2）存在，設(shè)CP∥BA交Y軸于P，
則△POC為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)C在射線CP上移動(dòng)
∵AC=4，OA=1
∴OC=OP=3
∴C（-3，0），P（0，-3）可求得PC所在直線解析式為：y=-x-3
∵直角頂點(diǎn)C從（-3，0）位置移動(dòng)到（-2，-1）時(shí)，水平移動(dòng)距離為|-2-（-3）|=1（長度單位）
∴直角頂點(diǎn)C從開始到經(jīng)過此拋物線頂點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間t==．
（3）當(dāng)0≤t≤時(shí)，
四邊形BCFE與△AEF重疊的面積為：直角梯形EFQE ₁，
故面積為：S=（EF+E₁Q）×EE₁=t（-t+）=-t²+t，
同理可得出其它函數(shù)解析式：
s=．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是分段函數(shù)的知識(shí)，二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及三角函數(shù)的應(yīng)用．難度較大．