Question

10．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A（-3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3m）（其中m＞0），頂點(diǎn)為D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；
（2）經(jīng)探究可知，S_△ABC：S_△ACD是一個(gè)定值，試求出這個(gè)比值（使用圖1）；
（3）如圖2，已知P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P在第三象限內(nèi)），設(shè)△APC的面積為S．當(dāng)m=2時(shí)，求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接OD，根據(jù)S_△ADC=S_△AOD+S_△OCD-S_△AOC求出△ADC面積即可解決問題．
（2）如圖2，求出S的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A（-3，0）、B（1，0），
∴拋物線解析式為：y=a（x+3）（x-1）．
將點(diǎn)C（0，-3m）代入上式，得a×3×（-1）=-3m，∴m=a，
故拋物線的解析式為：y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．
（2）如圖1，連接OD．
∵y=mx²+2mx-3m=m（x+1）²-4m，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（-1，-4m），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=$\frac{1}{2}$×4×3m=6m，
S_△ADC=S_△AOD+S_△OCD-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×3×4m+$\frac{1}{2}$×3m×1-$\frac{1}{2}$×3×3m=3m．
∴S_△ABC：S_△ADC=6m：3m=2：1．
（3）當(dāng)m=2時(shí)，C（0，-6），拋物線解析式為y=2x²+4x-6，則P（x，2x²+4x-6）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=-2x-6．
如圖2，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則F（x，-2x-6）．
∴PF=yF-yP=（-2x-6）-（2x²+4x-6）=-2x²-6x．
S=S_△PFA+S_△PFC=$\frac{1}{2}$PF•AE+$\frac{1}{2}$PF•OE=$\frac{1}{2}$PF•OA=$\frac{1}{2}$（-2x²-6x）×3
∴S=-3x²-9x=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
故S與x之間的關(guān)系式為S=-3x²-9x，
當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S有最大值為$\frac{27}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，難度不大．第（2）（3）問重點(diǎn)考查了圖形面積的計(jì)算方法．