Question

一張臺面為長方形ABCD的臺球桌，只有四個角袋（分別以臺面頂點A、B、C、D表示），臺面的長、寬分別是m、n（m、n為互質的奇數，且m＞n），臺面被分成m×n個正方形．只用一個桌球，從桌角A以與桌邊成45°夾角射出，碰到桌邊后也以與桌邊成45°角反彈（入射線與反射線垂直，如圖）．假設桌球不受阻力影響，在落袋前能一直運動．
求證：不論經過多少次反彈，桌球都不可能落入D袋．

Answer 1

【答案】分析：首先根據題意作圖，然后由m、n均為奇數，分析可得由于桌球從A點以45°角射出，碰到桌邊也以45°角反彈，當桌球反彈至鄰邊時，射線與兩邊桌邊圍成一個等腰直角三角形，該等腰直角三角形的斜邊兩端點也就是球的射線的兩端點編號必相同，依次可求得桌球不可能落入的D袋中．
解答：證明：如圖：將桌邊的正方形頂點從A開始：
按逆時針方向依次編號為0，1，0，1…，0，1，
∵m、n均為奇數，
∴點B的編號必為1，點C的編號必為0，點D的編號必為1．
由于桌球從A點以45°角射出，碰到桌邊也以45°角反彈，
當桌球反彈至鄰邊時，射線與兩邊桌邊圍成一個等腰直角三角形，該等腰直角三角形的斜邊兩端點也就是球的射線的兩端點編號必相同，
（如圖中射線EF，等腰Rt△ECF中，∵EC=CF，∴從E經H、C、K到F，編號變?yōu)榕紨荡危珽與F的編號必相同）…：
當桌球反彈至對邊時，球的射線的兩個端點的編號必也相同（如圖中射線PG，因為PH=HG=CD，HC+DG，從P經路徑ECFD到G，編號也變了偶數次，P與G的編號必也相同）．
綜上，不論經過多少次的反彈，桌球在桌邊碰到的點的編號均為與A點的編號相同，而A點的編號為0，
所以桌球不可能落入編號為1的D袋中．
點評：此題考查了反射的性質，等腰直角三角形的性質等知識．解題的關鍵是根據題意畫出圖形，利用數形結合思想解題．