Question

【題目】如圖，在矩形中，、相交于點，過點作的平行線交的延長線于點．

（1）求證：．

（2）過點作于點，并延長交于點，連接．若，，求四邊形的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據兩組對邊分別平行且的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形BEAD是平行四邊形，再根據平行四邊形對邊相等和矩形對邊相等即可得出結論；

（2）根據矩形的對角線相等且互相平分及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OB=OC=OG，利用勾股定理求出BC，CO的長．證明BF為△CEG的中位線，再由三角形中位線定理可得EG=2BF，最后根據四邊形的周長公式列式計算即可得解．

（1）∵AE∥DB，AD∥EB，∴四邊形BEAD是平行四邊形，∴BE=DA．

∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∴BE=BC；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB=OCAC．

∵AE∥DB，CF⊥BO，∴CG⊥AE，∴GO為Rt△CGA斜邊的中線，∴GOAC=OB，∴BO+OG=BD．

∵CF=6，BF=3，∴BE=BC=．

設CO=x，則FO=BO-BF=x-3．在Rt△CFO中，∵，∴，解得：x=7.5，∴BO+OG=BD=2x=15．

∵OG=CO，OF⊥CG，∴FG=CF=6．

∵CB=BE，∴BF為△CEG的中位線，∴EG=2BF=6，∴四邊形BOGE的周長=BO+OG+EG+EB=15+6+=．