Question

9．將兩塊全等含有30°的直角三角板如圖①擺放．

（1）將圖①中的△A₁B₁C順時針旋轉45°得圖②，點P₁是A₁C與AB的交點，點Q是A₁B₁與BC的交點，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖②中，若AP₁=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B₁C上取一點E，連接BE、P₁E，設BC=1，當BE⊥P₁B時，則△P₁BE面積的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 （1）先判斷∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，利用ASA即可證明△B₁CQ≌△BCP₁，從而得出結論．
（2）作P₁D⊥CA于D，在RtADP₁中，求出P₁D，在Rt△CDP₁中求出CP₁，繼而可得出CQ的長度．
（3）證明△AP₁C∽△BEC，則有AP₁：BE=AC：BC=$\sqrt{3}$：1，設AP₁=x，則BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得出S_△P1BE關于x的表達式，利用配方法求最值即可．

解答 （1）證明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，
∵在△B₁CQ和△BCP₁中，$\left\{\begin{array}{l}{∠{B}_{1}CQ=∠BC{P}_{1}}&{\;}\\{{B}_{1}C=BC}&{\;}\\{∠{B}_{1}=∠B}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA），
∴CQ=CP₁；
（2）解：作P₁D⊥CA于D，如圖所示：
∵∠A=30°，
∴P₁D=$\frac{1}{2}$AP₁=1，
∵∠P₁CD=45°，
∴$\frac{{P}_{1}D}{C{P}_{1}}$=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CP₁=$\sqrt{2}$P₁D=$\sqrt{2}$，
又∵CP₁=CQ，
∴CQ=$\sqrt{2}$；
（3）解：∵∠P₁BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，
由旋轉的性質可得：∠ACP₁=∠BCE，
∴△AP₁C∽△BEC，
∴AP₁：BE=AC：BC=$\sqrt{3}$：1，
設AP₁=x，則BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S_△P1BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（2-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故當x=1時，△P₁BE面積的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理及配方法求二次函數(shù)的最值；本題綜合性強，有一定難度．