Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，點M是射線EC上的一個動點，作等邊△DMN，使△DMN與△ABC在BC邊同側，連接NF．

（1）如圖1，當點M與點C重合時，直接寫出線段FN與線段EM的數量關系；

（2）當點M在線段EC上（點M與點E，C不重合）時，在圖2中依題意補全圖形，并判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）連接DF，直線DM與直線AC相交于點G，若△DNF的面積是△GMC面積的9倍，AB=8，請直接寫出線段CM的長．

Answer 1

【答案】（1）FN=EM；（2）圖形見解析；FN=EM成立；證明見解析；（3）1或2．

【解析】

(1)先連接ED，EF，DF，根據D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，得出△DEF是等邊三角形，進而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；（2）與（1）類似，先連接ED，EF，DF，得出△DEF是等邊三角形，進而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；（3）分兩種情況：①當M在線段CE上時，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，再根據條件判定△GCM∽△DEM，根據相似三角形的性質，得出，再根據CE=BC=4，即可得出CM=CE=1；②當M在線段EC延長線上時，運用同樣的方法，判定△GCM∽△DEM，得出，即，再根據CE=4，即可得出CM=CE=2．

（1）線段FN與線段EM的數量關系為：FN=EM．

理由：如圖1，連接ED，EF，DF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，

∵D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，

∴DE=EF=FD，即△DEF是等邊三角形，

∴∠FDE=60°，

又∵△DMN是等邊三角形，

∴DN=DM，∠MDN=60°，

∴∠FDN=∠EDM，

在△FDN和△EDM中，

，

∴△DFN≌△DEM（SAS），

∴FN=EM．

（2）補全圖形，如圖2．結論FN=EM成立．

證明：連接ED，EF，DF，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=AC，

∵D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，

∴DE=EF=FD，即△DEF是等邊三角形，

∴∠FDE=60°，

又∵△DMN是等邊三角形，

∴DN=DM，∠MDN=60°，

∴∠FDN=∠EDM，

在△FDN和△EDM中，

，

∴△DFN≌△DEM（SAS），

∴FN=EM．

（3）分兩種情況：

①如圖3，當M在線段CE上時，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，

由（2）可得△DFN≌△DEM，

∴△DFN與△DEM面積相等，

∵△DNF的面積是△GMC面積的9倍，

∴△DEM的面積是△GMC面積的9倍，

∵CG∥DE，

∴△GCM∽△DEM，

∴，

又∵CE=BC=×8=4，

∴CM=CE=1；

②如圖4，當M在線段EC延長線上時，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，

同理可得△DFN≌△DEM，

∴△DFN與△DEM面積相等，

∵△DNF的面積是△GMC面積的9倍，

∴△DEM的面積是△GMC面積的9倍，

∵CG∥DE，

∴△GCM∽△DEM，

∴，即，

又∵CE=BC=4，

∴CM=CE=2．

綜上所述，CM的長為1或2．