Question

已知一次函數(shù)y₁=2x，二次函數(shù)y₂=x²+1．
（Ⅰ）根據(jù)表中給出的x的值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁、y₂，并填在表格中：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y1=2x
y2=x2+1

（Ⅱ）觀(guān)察第（Ⅰ）問(wèn)表中有關(guān)的數(shù)據(jù)，證明如下結(jié)論：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₂均成立；
（Ⅲ）試問(wèn)，是否存在二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，2），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂均成立？若存在，求出函數(shù)y₃的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)表中所給的x的值，代入函數(shù)式求值即可；
（Ⅱ）把y₂化成完全平方的形式與y₁進(jìn)行比較即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）由圖可知，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂均成立，利用c=2-5a，代入（b-2）²-4ac≤0得出a的值，于是可推理出拋物線(xiàn)的解析式．

解答：解：（Ⅰ）

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y1=2x	-6	-4	-2	0	2	4	6
y2=x2+1	10	5	2	1	2	5	10

（Ⅱ）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值y₂=x²+1=（x-1）²+2x，y₁=2x，
∵=（x-1）²≥0，
∴y₁≤y₂；

（Ⅲ）由y₁=2x，y₂=x²+1得：
y₂-y₁=x²+1-2x=（x-1）²
即當(dāng)x=1時(shí)，有y₁=y₂=2．
所以（1，2）點(diǎn)為y₁和y₂的交點(diǎn)．
因?yàn)橐獫M(mǎn)足y₁≤y₃≤y₂恒成立，所以y₃圖象必過(guò)（1，2）點(diǎn)．
又因?yàn)閥₃-y₁=ax²+bx+c-2x恒大于等于0，即ax²+（b-2）x+c恒大于等于0，所以二次函數(shù)ax²+（b-2）x+c必定開(kāi)口向上，
即有a＞0且（b-2）²-4ac≤0，
同樣有y₂-y₃=（1-a）x²-bx+（1-c）恒大于0，
有 1-a＞0 且 b²-4（1-a）（1-c）≤0，
又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)（-5，2）和（1，2）兩點(diǎn)，所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a，
將b=4a代入②得：c=2-5a，
代入（b-2）²-4ac≤0得，
（4a-2）²-4a（2-5a）=16a²-16a+4-8a+20a²
=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
等式成立時(shí) a=

1

3

，
將b=4a，c=2-5a 代入b²-4（1-a）（1-c）≤0，
（4a）²-4（1-a）（1-（2-5a））=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
滿(mǎn)足條件a=

1

3

所以y₃的解析式為y₃=

1

3

（x²+4a+1）=

1

3

x2+

4

3

x+

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題結(jié)合圖表考查了同學(xué)的對(duì)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的理解，以及通過(guò)數(shù)形結(jié)合考查了同學(xué)們的探索發(fā)現(xiàn)能力．
解答此題需要熟知函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系，通過(guò)將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解答．