Question

10．如圖，雙曲線y=-$\frac{2}{x}$與y=$\frac{6}{x}$分別過矩形ABCO上的A、D兩點(diǎn)，OD=2CD，矩形ABCO面積為18$\sqrt{3}$，則OC的長為（　　）

• A． 6
• B． $6\sqrt{3}$
• C． 9
• D． $9\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，通過矩形的性質(zhì)以及同角的余角相等即可得出∠AOE=∠ODF，結(jié)合∠AEO=∠OFD=90°即可證出△AOE∽△ODF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{DF}$，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義結(jié)合矩形的面積以及OD=2CD即可得出關(guān)于OD的一元二次方程，解之即可得出OD的長度，進(jìn)而可得出OC的值．

解答 解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．
∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，
∴∠AEO=∠OFD=90°．
∵四邊形ABCO為矩形，
∴∠AOD=90°．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠EAO+∠ODF=90°，
∴∠AOE=∠ODF，
∴△AOE∽△ODF，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{OF}=\frac{OE}{DF}$．
∵AE•OE=|-2|=2，OF•DF=|6|=6，
∴$\frac{AO}{OD}$=$\sqrt{\frac{2}{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OD．
∵OD=2CD，
∴OC=$\frac{3}{2}$OD．
∵矩形ABCO面積為18$\sqrt{3}$，
∴AO•OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OD•$\frac{3}{2}$OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OD²=18$\sqrt{3}$，
解得：OD=6，
∴OC=$\frac{3}{2}$OD=9．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義結(jié)合矩形的面積找出關(guān)于OD的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．