Question

如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC=10，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，將三角板DEF的直角邊EF放置于三角板ABC的斜邊AC上，且點E與點A重合．
▲操作一：固定三角板ABC，將三角板DEF沿AC方向平移，使直角邊ED剛好過B點，如圖2所示；
[探究一]三角板DEF沿A→C方向平移的距離為

5

2

；
▲操作二：將三角板DEF沿A→C方向平移至一定位置后，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC交于點Q；
[探究二]在旋轉過程中，
（1）如圖3，當

CE

EA

=1時，請判斷下列結論是否正確（用“√”或“×”表示）：
①EP=EQ；

√

②四邊形EPBQ的面積不變，且是△ABC面積的一半；

√

（2）如圖4，當

CE

EA

=2時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．
（3）根據(jù)你對（1）、（2）的探究結果，試寫出當

CE

EA

=m時，EP與EQ滿足的數(shù)量關系式為

EQ=mEP

；（直接寫出結論，不必證明）

Answer 1

分析：[探究一]根據(jù)等腰直角三角形“三合一”的性質推知BE是直角三角形ABC斜邊AC上的中線，然后由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半即可求得BE=AE=5

2

；
[探究二]（1）①連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點，根據(jù)等腰直角三角形的性質可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結論；
②利用①中全等三角形的性質知S_△BEP=S_△CEQ，然后根據(jù)圖形知S_{四邊形EPBQ}=S_△ABC-S_△APE-S_△CEQ=S_△ABC-S_△APE-S_△BEP=S_△ABC-S_△ABE=

1

2

S_△ABC；
（2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據(jù)兩個角對應相等證明△MEP∽△NWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質得到EM：EN=AE：CE；
（3）根據(jù)（2）中求解的過程，可以直接寫出結果．

解答：解：[探究一]如圖2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=10，
∴AC=10

2

（勾股定理）；
又∵BE⊥AC，
∴BE=AE=

1

2

AC=5

2

（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半）；
即三角板DEF沿A→C方向平移的距離為5

2

；
故答案是：5

2

；
            
[探究二]
（1）①如圖3，連接BE，根據(jù)E是AC的中點和等腰直角三角形的性質，得
∠PBE=∠C，BE=CE，
又∠BEP=∠CEQ，
則△BEP≌△CEQ，得EP=EQ；
故答案是：√；

②由①知，△BEP≌△CEQ，
∴S_△BEP=S_△CEQ，
∴S_{四邊形EPBQ}=S_△ABC-S_△APE-S_△CEQ=S_△ABC-S_△APE-S_△BEP=S_△ABC-S_△ABE；
又∵BE是直角三角形ABC斜邊AC上的中垂線，
∴S_△ABE=

1

2

S_△ABC，
∴S_{四邊形EPBQ}=

1

2

S_△ABC；
故答案是：√；

（2）EQ=2EP．理由如下：
如圖4，過E作EM⊥BC于M，過E作EN⊥AB于N，
則EM=

2

2

EC，EN=

2

2

AE，
∵

CE

EA

=2，
∴

EM

EN

=2． 
∵∠QEM+∠MEP=∠PEN+∠MEP=90°，
∴∠QEM=∠PEN，
又∠EMQ=∠ENP，
∴△EMQ∽△ENP，
∴

EQ

EP

=

EM

EN

=2，即：EQ=2EP；

（3）由（1）知，當

CE

EA

=1時，EP=EQ；
由（2）知，當

CE

EA

=2時，EP=2EQ；
∴當

CE

EA

=m時，EP=mEQ；
故答案是：EQ=mEP．

點評：本題考查的是相似綜合題．熟練運用等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定和性質進行求解．