Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心P在x軸上，⊙P與x軸交于點(diǎn)E、F，與y軸交于點(diǎn)C、D，且EO=1，CD=2

3

，又B、A兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，m）、（5，0）．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線解析式；
（2）當(dāng)B點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若直線AB與⊙P保持相交，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把（0，3）、（5，0）分別代入y=kx+b，得到方程組，求解即可得到經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線解析式；
（2）假設(shè)當(dāng)B點(diǎn)移到B'時(shí)，直線AB'與⊙P相切于點(diǎn)H，連接PH、PD，由EO=1，CD=2

3

，可求得半徑長(zhǎng)為2，從而得出PH=2，AP=4，所以∠EAH=30°；由正切值可求出OB'，要使直線AB'與⊙P相交，使m的值小于OB'的值即可；同理求出OB''的值，使m的值大于OB''即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，B的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b，由題意得

b=3 5k+b=0

，
解得

k=- 3 5 b=3

，
∴經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線解析式為y=-

3

5

x+3；

（2）假設(shè)當(dāng)B點(diǎn)移到B'時(shí)，直線AB'與⊙P相切于點(diǎn)H，連接PH、PD，設(shè)圓的半徑為x，
∵EO=1，CD=2

3

，
∴PD²=OD²+OP²，
即x²=（

3

）²+（x-1）²，解得x=2；
∵OA=5，
∴AP=OA-OP=5-1=4，
在Rt△APH中，PH=2，AP=4，
∴∠PAH=30°，
在Rt△AEB'中，OB'=tan30°×5=

5

3

3

；
同理OB''=-

5

3

3

，
∴若直線AB與⊙P保持相交，m的取值范圍是-

5

3

3

＜m＜

5

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此類題目是函數(shù)與圓的知識(shí)的綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在第（2）題，解決的根據(jù)是直線和圓相交?圓心到直線的距離小于圓的半徑．