Question

如圖，兩圓同心，半徑分別為6與8，又矩形ABCD的邊AB和CD分別為小大兩圓的弦．則當矩形ABCD面積最大時，求此矩形的周長．

Answer 1

分析：根據(jù)垂徑定理可以證明S_△AOM=

1

4

S_矩形AMPB，然后根據(jù)S_△AOD=

1

2

OA•OD•sin∠AOD，當∠AOD=90°，矩形的面積最大，即可求得AD的長，AB就是AD的弦心距的2倍，根據(jù)直角三角形的面積即可求解，進而求得矩形的周長．

解答：解：作OM⊥AD于點M，ON⊥AB于點N，OP⊥BC于點P．則四邊形ANOM是矩形．
∴S_△AOM=S_△AON，
同理，S_△OBN=S_△OPB，
∵ON⊥AB，
∴AN=BN，則OM=OP，
∴△OAM≌△OBP
∴S_△AOM=

1

4

S_矩形AMPB，
同理，S_△OMD=

1

4

S_矩形MPCD，
∴S_△AOD=

1

4

S_矩形ABCD．
又∵S_△AOD=

1

2

OA•OD•sin∠AOD=

1

2

×6×8sin∠AOD=24sin∠AOD，
當∠AOD=90°時，S_△AOD的面積最大，此時矩形ABCD的面積最大．
在直角△AOD中，OA=6，OD=8，
∴AD=

OA2+OD2

=

62+82

=10，則BC=AD=10．
∵S_△AOD=

1

2

AD•OM=

1

2

OA•OB，
∴OM=

OA•OB

AB

=

6×8

10

=4.8cm．
∴AB=CD=2AN=2OM=9.6cm．
則矩形ABCD的周長是：2（9.6+10）=39.2cm．

點評：本題主要考查了垂徑定理的應用，利用垂徑定理可以把求弦長或圓心角的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．