Question

如圖1，若順次連接四邊形ABCD各邊中點所得四邊形EFGH是菱形，則稱原四邊形ABCD為“中母菱形”．定義：若四邊形的對角線相等，那么這個四邊形是中母菱形．
（1）請寫一個你學過的特殊四邊形中是中母菱形的圖形的名稱．
（2）如圖有等邊三角形ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連接DE，猜想圖中哪個四邊形是中母菱形，并加以證明．
（3）在等邊三角形ABC中，若D、E不是AB、AC的中點，且BD=AE，探究滿足上述條件的圖形中是否在中母菱形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）從學過的特殊圖形中，尋找對角線相等的圖形（正方形、矩形、等腰梯形等）；
（2）欲證明四邊形DBCE是中母菱形，只需證明該四邊形的對角線DC=BE即可；
（3）通過全等三角形的判定定理SAS證得△ABE≌△BCD，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等的性質推知四邊形DBCE的對角線BE=DC，所以四邊形DBCE是中母菱形．
解答：解：（1）矩形；等腰梯形．

（2）四邊形DBCE是中母菱形．
證明：連接DC、BE．
∵D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE平行BC，DE=BC，
∴四邊形DBCE是梯形．
又∵AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點，
∴DB=EC，
∴梯形DBCE是等腰梯形．
∴DC=BE，
∴四邊形DBCE是中母菱形．

（3）四邊形DBCE是中母菱形．
證明：連接DC、BE．
∵BD=AE，∠BAE=∠CBD，AB=BC
∴△ABE≌△BCD
∴BE=DC
∴四邊形DBEC是中母菱形．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質、菱形是性質、等邊三角形的性質以及三角形中位線定理．解答本題的主要依據(jù)是中母菱形的定義的定義：若四邊形的對角線相等，那么這個四邊形是中母菱形．