Question

如圖（1）所示，正比例函數y=kx與反比例函數y=

t

x

的圖象交于點A（-3，2）．


（1）試確定上述正比例函數與反比例函數的解析式；
（2）根據圖象回答，在第二象限內，當x取何值時，反比例函數的值大于正比例函數的值？
（3）如圖（2）所示，P（m，n）是反比例函數圖象上的一動點，其中-3＜m＜0，過點P作直線PB∥x軸，交y軸于點B，過點A作直線AD∥y軸，交x軸于點D，交直線PB于點C．當四邊形OACP的面積為6時，請判斷線段BP與CP的大小關系，并說明理由．
（4）在第（3）問條件中，連接AP，若∠PAO=90°，試求分式m²+

16

m2

的值．

Answer 1

分析：（1）把A的坐標代入解析式求出k、t即可；
（2）畫出圖象，根據圖象，當x取相同的數時y的值即可求出答案；
（3）求出mn的值，根據三角形的面積公式得到3n-

1

2

×3×2-

1

2

×（-mn）=6，求出m、n的值，求出BP、CP的值即可；
（4）根據∠PAO=90°，得出△CAP∽△DOA，再利用比例的性質得出m的值，進而求出分式m²+

16

m2

的值．

解答：解：（1）把A（-3，2）代入y=kx得：2=-3k，
解得：k=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x，
代入y=

t

x

得：t=-6，
∴y=-

6

x

．
答：正比例函數與反比例函數的解析式分別是y=-

2

3

x，y=-

6

x

．

（2）∵A（-3，2），
由圖象可知：當-3＜x＜0時，在第二象限內，反比例函數的值大于正比例函數的值．

（3）答：線段BP與CP的大小關系是BP=CP，
理由是：∵P（m，n）在y=-

6

x

上，
∴mn=-6，
∵DO=3，AD=2，OB=n，BP=-m，CP=3-PB，DC=n，
四邊形OACP的面積為6，
∴S_矩形CDOB-S_△ADO-S_△OBP=6，
3n-

1

2

×3×2-

1

2

×（-mn）=6，
3n-3-

1

2

×6=6，
3n=12，
解得：n=4，
∴m=-

6

4

=-

3

2

，
∴P（-

3

2

，4），
∴PB=

3

2

，CP=3-

3

2

=

3

2

，
∴BP=CP．

（4）∵P（m，n），P點在y=-

6

x

圖象上，
∴mn=-6，
∴n=-

6

m

，
∵∠PAO=90°，
∴∠CAP+∠DAO=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠AOD=∠CAP，
又∵∠C=∠ADO=90°，
∴△CAP∽△DOA，
∴

AD

CP

=

DO

AC

，
∴

2

3+m

=

3

- 6 m -2

，
解得：m₁=-3（不合題意舍去），m₂=-

4

3

，
∴m²+

16

m2

=（-

4

3

）²+

16

(- 4 3 )2

=

97

9

．

點評：本題主要考查了待定系數法求出正比例函數、反比例函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積、相似三角形的判定與性質等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵．