Question

如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個(gè)定點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=﹣x于點(diǎn)N．若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB=30°，BA⊥PA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是　　．

Answer 1

考點(diǎn)：

一次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）首先，需要證明線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡），如答圖②所示．利用相似三角形可以證明；

（2）其次，如答圖①所示，利用相似三角形△AB₀B_n∽△AON，求出線段B₀B_n的長度，即點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長．

解答：

解：由題意可知，OM=，點(diǎn)N在直線y=﹣x上，AC⊥x軸于點(diǎn)M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=OM=×=．

如答圖①所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B₀，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B_n，連接B₀B_n．

∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n，

又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°，

∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比為tan30°，

∴B₀B_n=ON•tan30°=×=．

現(xiàn)在來證明線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．

如答圖②所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為B_i，連接AP，AB_i，B₀B_i．

∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠B₀AB_i，

又∵AB₀=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，∴AB₀：AO=AB_i：AP，

∴△AB₀B_i∽△AOP，∴∠AB₀B_i=∠AOP．

又∵△AB₀B_n∽△AON，∴∠AB₀B_n=∠AOP，

∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n，

∴點(diǎn)B_i在線段B₀B_n上，即線段B₀B_n就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）．

綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑（或軌跡）是線段B₀B_n，其長度為．

故答案為：．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查坐標(biāo)平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，難度很大．本題的要點(diǎn)有兩個(gè)：首先，確定點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關(guān)系求出點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)路徑的長度，可以大幅簡化計(jì)算，避免陷入坐標(biāo)關(guān)系的復(fù)雜運(yùn)算之中．