Question

（2013•歷城區(qū)三模）如圖，已知點(diǎn)（1，2）在函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，矩形ABCD的邊BC在x正半軸上，E是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象又經(jīng)過A，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為m．
（1）求k的值；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使四邊形ABCD為正方形？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把點(diǎn)（1，2）代入函數(shù)y=

k

x

即可求出k的值，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）過E作EF⊥BC于F，由三角形中位線定理可得AB=2EF，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)2m，進(jìn)而可得可得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)（

2

m

，m）由EF=BF得，m=

2

m

-

1

m

解可得m的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)（1，2）在反比例函數(shù)y=

k

x

上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；

（2）過E作EF⊥BC于F，
∵點(diǎn)E是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴AE=CE，
∴EF是△ABC中，EF為其中位線，
∴AB=2EF，
∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)2m，且點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）上，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

m

，2m）；

（3）存在．
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象上，
∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)（

2

m

，m），
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=2m，BF=m，
∴EF=BF，m=

2

m

-

1

m

=

1

m

，
∴m²=1．
∴m=±1
∵m＞0，
∴m=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度適中．