Question

27、情境觀察
將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．
觀察圖2可知：與BC相等的線段是

AD

，∠CAC′=

90

°．

問題探究
如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

拓展延伸
如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H．若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)△ABC≌△AC′D，即可解題；
②易證△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，F(xiàn)Q=AG，即可解題；
③過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可解題．

解答：解：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，
∴∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°；
故答案為：AD，90．

②∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，
∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，
又∵AF=AC，
∴△AFQ≌△CAG，
∴FQ=AG，
同理EP=AG，
∴FQ=EP．

③HE=HF．
理由：過點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．
∵四邊形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°．AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA．
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ．
∴EP=FQ．
∵∠EHP=∠FHQ，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH．
∴HE=HF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了等腰三角形腰長相等的性質(zhì)，本題中求證△AFQ≌△CAG是解題的關(guān)鍵．