Question

如圖1，BD為矩形ABCD的對角線，∠DBC的平分線BE交DC于點E，DK⊥BE交BE的延長線于K．
（1）若tan∠DBC=

4

3

，求證：BE=

3

2

DK．
（2）如圖2，在（1）的條件下，∠BED繞點E順時針旋轉至∠B′ED′，∠B′ED′的兩邊分別交BD、DK于點I、L，若已知：DL：LK=5：3，IL=5，求IB的長？

Answer 1

分析：（1）延長DK、BC交于點F，可證明△BKD≌△BKF，由全等三角形的性質(zhì)可得DK=FK，再通過證明△BEC∽△DCF，由相似三角形的性質(zhì)可得

DF

BE

=

DC

BC

，又因為tan∠DBC=

DC

BC

=

4

3

，所以BE=

3

4

DF=

3

4

×2DF=

3

2

DF；
（2）設DL=5a，則KL=3a，所以DK=8a，所以BE=

3

2

DK=12a，又∠EDK=∠EBC=∠DBE，所以tan∠EDK=∠DBK，所以

DK

BK

=

EK

DK

即

EK

8a

=

8a

EK+12a

，進而求出EK=4a，所以DE=4

5

a，而tan∠EBC=tan∠EDK，再通過證明△DIL∽△DBK，即可求出a的值，從而求出IB的長．

解答：解：（1）延長DK、BC交于點F，
∵BK⊥DK，∴∠BKD=∠BKF=90°，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠DBK=∠FBK，
 又∵BK=BK，
在△BKD和△BKF中，

∠BKD=∠BKF=90° ∠DBK=∠FBK  BK=BK

，
∴△BKD≌△BKF，
∴DK=FK，
又∵∠BCE=∠DCF=90°，∠CBE+∠BEC=90°，∠DEK+∠EDK=90°，
而∠BEC=∠DEK，
∴∠CBE=∠CDF，
∴△BEC∽△DCF，
∴

DF

BE

=

DC

BC

，
又∵tan∠DBC=

DC

BC

=

4

3

，
∴BE=

3

4

DF=

3

4

×2DF=

3

2

DF；

（2）設DL=5a  則KL=3a，
∴DK=8a，
∴BE=

3

2

DK=12a，
又∠EDK=∠EBC=∠DBE，
∴tan∠EDK=∠DBK，
∴

DK

BK

=

EK

DK

即

EK

8a

=

8a

EK+12a

，
∴EK=4a，EK=12a（舍去），
∴DE=4

5

a，
 而tan∠EBC=tan∠EDK，
∴

EC

BE

=

EK

DK

=

4a

8a

=

1

2

，
∴BC=2EC，
∴EC=

12

5

5

a，BC=

24

5

5

a，
∴CD=

32

5

5

a，BD=8

5

a，
∵∠BED=∠IEL，
∴∠BEI=∠DEL，
 又∵∠IBE=∠LDE，
∴△DLE∽△LDE，
∴

BI

DL

=

BE

DE

，
∴

BI

5a

=

12a

4 5 a

，
∴BI=3

5

a，
∴DI=5

5

a，
∴

DI

DB

=

5

8

=

DL

DK

，
∵△IDL≌△BDK，
∴△DIL∽△DBK，
∴

IL

BE

=

DI

DK

=

5

8

，
∴BE=8 即16a=8，
∴a=

1

2

，
∴BI=3

5

a=

3

2

5

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應用，題目的綜合性強，計算量很大，對學生的綜合解題能力要求很高．