Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=9，⊙O與外切，且⊙O與AB、BC相切．⊙O′與AD、CD相切，設(shè)⊙O的半徑為x，⊙O與⊙O′的面積的和為S，求S的最大值和最小值．

Answer 1

解：設(shè)⊙O′的半徑為y，
過O與O′分別作CD與BC的垂線OH，O′F，垂足分別為H，F(xiàn)，OH、O′F交于點(diǎn)E，
則有：O′E=8-（x+y），OE=9-（x+y）
由勾股定理可得：
（x+y）²=[8-（x+y）]²+[9-（x+y）]²．
整理，得（x+y-29）（x+y-5）=0，
由題意知1≤x≤4，∴x+y=5，y=-x+5，
∴S=πx+πy=π（2x-10x+25），=2π[（x-）²+]，
故：當(dāng)x=時(shí)，S_min=π；
當(dāng)x=4時(shí)，s_max=17π．
分析：根據(jù)題意設(shè)⊙O′的半徑為y，⊙O的半徑x，先由已知求出⊙O′的半徑也⊙O的半徑x之間的關(guān)系，然后再根據(jù)面積公式寫出S與x之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系就是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解此題．
點(diǎn)評：本題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)，同時(shí)考查了二次函數(shù)的最值及勾股定理，難度較大，再做題的過程中關(guān)鍵畫出正確輔助線以打開思路．