Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為半徑的⊙O交AC于點E，交BC于點D，過點D作⊙O的切線DF，交AC于點F．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若CE=2，CD=3，求AB的長；
（3）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得出AD⊥BC，再利用三角形中位線的判定與性質(zhì)得出OD∥AC，進(jìn)而得出DF⊥OD，進(jìn)而得出DF⊥AC；
（2）首先證明△ACD∽△BCE，再利用相似三角形的性質(zhì)得出AC的長，進(jìn)而得出答案；
（3）利用S_陰影=S_扇形AOE-S_△AOE進(jìn)而求出答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接AD、OD
∵AB為⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴點D是BC的中點，
∵點O是AB的中點，
∴OD是△ABC的中位線，OD∥AC，
∵DF是⊙O的切線，OD是過切點的半徑，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC；

（2）解：如圖2，連接BE
∵AB為⊙的直徑，
∴BE⊥AC，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
而∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{3}{2}$=$\frac{AC}{6}$，
解得：AC=9，
∴AB=AC=9；

（3）解：如圖3，連接OE，
在Rt△CDF中，∵∠CDF=22.5°，∴∠C=67.5°，
∴∠ABC=∠C=67.5°，∠A=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∴S_陰影=S_扇形AOE-S_△AOE=$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4×4=4π-4．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)以及扇形面積求法以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確得出△ACD∽△BCE是解決問題（2）的關(guān)鍵．