Question

已知拋物線y=ax²+bx+3，與x軸交于A（-3，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)D，是以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)Q，使△ACQ為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將A（-3，0）、B（1，0）分別代入y=ax²+bx+3，組成關(guān)于a、b的方程組，解方程組即可求出a、b的值，從而得到二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及AB的長(zhǎng)為4，OC=3，即可輕松得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）拋物線y=-x²-2x+3與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，m），然后分三種情況討論①若∠QAC=90°，△AEQ∽△COA，利用相似三角形的性質(zhì)解答；②若∠QCA=90°，由△QFC∽△COA，利用相似三角形的性質(zhì)解答；③若∠CQA=90°，作O₁G⊥l于點(diǎn)G，則QG=|m-

3

2

|，O₁G=

1

2

，
由勾股定理得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值．

解答：解：（1）依題意，得

0=a+b+3 0=9a-3b+3

，
解得，

a=-1 b=-2

，（2分）
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4）；

（2）如圖，∵AB=4，OC=3，
∴CD₁=CD₂=AB=4，
D的坐標(biāo)為D₁（-4，3），D₂（4，3），
∵D₃E=OC=3，AE=OB，可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴D₃（-2，-3）； 

（3）拋物線y=-x²-2x+3與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，m），
①若∠QAC=90°，如圖1，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)
為E，則E（-1，0），則AE=2，EQ=-m，
由△AEQ∽△COA，得

EQ

AO

=

AE

OC

，
∴

-m

3

=

2

3

，
∴m=-2，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，-2）；                       
②若∠QCA=90°，如圖2，作QF⊥y軸于點(diǎn)F，則QF=1，F(xiàn)C=m-3，
由△QFC∽△COA，得

FQ

CO

=

CF

OA

，
∴

1

3

=

m-3

3

，
∴m=4，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，4）；                          
③若∠CQA=90°，如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為O₁，則O₁的坐標(biāo)為(-

3

2

，

3

2

)，作O₁G⊥l于點(diǎn)G，則QG=|m-

3

2

|，O₁G=

1

2

，
由勾股定理得，O1Q2=QG2+O1G2=

1

4

+m2-3m+

9

4

=m2-3m+

5

2

，
∵O1Q=

1

2

AC=

3

2

2

，
∴m2-3m+

5

2

=

9

2

，
解得，m=

3± 17

2

，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1，

3+ 17

2

)，(-1，

3- 17

2

)； 
綜上所述，使△ACQ為直角三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
（-1，-2）、（-1，4）、(-1，

3+ 17

2

)或(-1，

3- 17

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，要注意分類討論的作用．