Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（Ⅰ）如圖①，若半徑為r₁的⊙O₁是Rt△ABC的內切圓，求r₁；
（Ⅱ）如圖②，若半徑為r₂的兩個等圓⊙O₁、⊙O₂外切，且⊙O₁與AC、AB相切，⊙O₂與BC、AB相切，求r₂；
（Ⅲ）如圖③，當n大于2的正整數時，若半徑r_n的n個等圓⊙O₁、⊙O₂、…、⊙O_n依次外切，且⊙O₁與AC、BC相切，⊙O_n與BC、AB相切，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、…、⊙O_n-1均與AB邊相切，求r_n．

Answer 1

分析：（I）連接三角形的內心和三角形的各個頂點，根據三角形的總面積等于分割成的三個小三角形的面積，進行計算；
（II）連接兩圓的圓心和每個圓的圓心和三角形的三個頂點，把大三角形分割成了三個三角形和一個梯形，根據三角形的總面積等于四部分的面積的和，進行計算；
（III）連接第一個圓和最后一個圓的圓心，以及兩個圓的圓心和三角形的三個頂點，根據（II）的思路進行計算．

解答：解：（I）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10．
如圖1，設⊙O₁與Rt△ABC的邊AB，BC，CA分別切于點D，E，F．
連接O₁D，O₁E，O₁F，AO₁，BO₁，CO₁．
于是O₁D⊥AB，O₁E⊥BC，O₁F⊥AC．
S△AO1C=

1

2

AC•O1F=

1

2

AC•r1=3r1，S△BO1C=

1

2

BC•O1E=

1

2

BC•r1=4r1，S△AO1B=

1

2

AB•O1D=

1

2

AB•r1=5r1，S△ABC=

1

2

AC•BC=24．
又∵S△ABC=S△AO1C+S△BO1C+S△AO1B，
∴24=3r₁+4r₁+5r₁，
∴r₁=2．

（II）如圖2，連接AO₁，BO₂，CO₁，CO₂，O₁O₂，則
S△AO1C=

1

2

AC•r2=3r2，S△BO2C=

1

2

BC•r2=4r2．
∵等圓⊙O₁，⊙O₂外切，
∴O₁O₂=2r₂，且O₁O₂∥AB．
過點C作CM⊥AB于點M，交O₁O₂于點N，則
CM=

AC•BC

AB

=

24

5

，CN=CM-r2=

24

5

-r2．
∴S△CO1O2=

1

2

O1O2•CN=(

24

5

-r2)r2，
∴S梯形AO1O2B=

1

2

(2r2+10)r2=(r2+5)r2．
∵S△ABC=S△AO1C+S△BO2C+S△CO1O2+S梯形AO1O2B，
∴3r₂+4r₂+（

24

5

-r₂）•r₂+（r₂+5）r₂=24，
解得r₂=

10

7

．

（III）如圖3，連接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，則
S△AO1C=

1

2

AC•rn=3rn，S△BOnC=

1

2

BC•rn=4rn．
∵等圓⊙O₁，⊙O₂，…，⊙O_n依次外切，且均與AB邊相切，
∴O₁，O₂，…，O_n均在直線O₁O_n上，且O₁O_n∥AB，
∴O₁O_n=（n-2）2r_n+2r_n=2（n-1）r_n．
過點C作CH⊥AB于點H，交O₁O_n于點K，
則CH=

24

5

，CK=

24

5

-rn．
S△CO1On=

1

2

O1On•CK=(n-1)(

24

5

-rn)rn，S梯形AO1OnB=

1

2

[2(n-1)rn+10]rn=[(n-1)rn+5]rn．
∵S△ABC=S△AO1C+S△BOnC+S△CO1On+S梯形AO1OnB，
∴24=3rn+4rn+(n-1)(

24

5

-rn)rn+[(n-1)rn+5]rn．
解得rn=

10

2n+3

．

點評：解決此題的方法是根據三角形的面積的不同計算方法進行計算．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．