Question

如圖，直線AB的函數(shù)解析式為y=x+2分別與x、y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，直線CD的函數(shù)解析為y=2x-1分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，直線AB與CD相交于點(diǎn)P．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，△APM與△BDP的面積相等；
（3）若點(diǎn)N為線段CP上一動(dòng)點(diǎn)，探究是否存在點(diǎn)N，使△ABN與△BDN的面相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）解兩個(gè)解析式組成的方程組即可求得函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)△BPD的面積即可求得AM的長(zhǎng)，則M的坐標(biāo)即可求得；
（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，2n-1），則△BDN的面積可以利用n表示，然后利用n表示出△ABN的面積，根據(jù)兩個(gè)三角形的面積相等，可以求得n的值，則N的坐標(biāo)可以求得．

解答：解：（1）由題意可得

y=x+2 y=2x-1

，
解得

x=3 y=5

∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（3，5）
（2）由題意可知，點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），D（0，-1），
∴BD=3，∴S△BPD=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴

1

2

×5•AM=

9

2

，
解得AM=

9

5

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(-

1

5

，0)或(-

19

5

，0)
（3）存在，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，2n-1），則S△BDN=

1

2

×3×n=

3

2

n，
而S_△ABN=S_△AOB+S_△BON-S_△AON=2+n-（2n-1）=3-n
∴

3

2

n=3-n，
解得n=

6

5

，
∴存在點(diǎn)N(

6

5

，

7

5

)使△ABN和△BDN面積相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法以及三角形的面積的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合考慮問(wèn)題是關(guān)鍵．