Question

如圖1，在△ABC中，已知AB=15，cosB=，tanC=．點D為邊BC上的動點（點D不與B、C重合），以D為圓心，BD為半徑的⊙D交邊AB于點E．
（1）設BD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）如圖2，點F為邊AC上的動點，且滿足BD=CF，聯(lián)結DF．
①當△ABC和△FDC相似時，求⊙D的半徑；
②當⊙D與以點F為圓心，F(xiàn)C為半徑⊙F外切時，求⊙D的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AE=AB-BE進而得出y與x的函數(shù)關系即可；
（2）①過點A作AH⊥BC，垂足為H，利用△ABC和△FDC相似求出⊙D的半徑即可；
②過點F作FM⊥BC，首先利用勾股定理計算出FD的長，再利用外切的性質(zhì)得出DF，進而求出⊙D的半徑．
解答：解：（1）過點D作DG⊥BE，垂足為E．
∵DG過圓心，
∴BE=2BG，
在Rt△DGB中，cosB=，
∵BD=x，
∴BG=，
∴BE=，
∵AB=15，
∴y=15-，定義域為：0＜x≤；

（2）①過點A作AH⊥BC，垂足為H
在Rt△ADH中，cosB=
∵AB=15，
∴BH=9，
∴AH=12，
在Rt△AHC中，tanC=
∴HC=5，
∴BC=14，
設BD=x，則CF=，DC=14-x，
∵∠C=∠C，
∴當△ABC和△FDC相似時，有
（�。�，
即，
解得：x=，
∴BD=，
（ⅱ），
即，
解得：x=，
∴BD=，
∴當△ABC和△FDC相似時，⊙D的半徑為或，
②過點F作FM⊥BC，垂足為M
在Rt△FMC中，tanC=，
∴sinC=，
∵CF=，
∴FM=，MC=，
∴DM=14-x-=14-，
∴DF=，
∵⊙D與⊙F外切，
∴DF=，
∴=，
解得：x₁=，x₂=（舍去）
即BD=，
∴當⊙D與⊙F外切時，⊙D的半徑為．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理和相切兩圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用已知進行分類討論得出是解題關鍵．