Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，A（8，0），C（0，6），點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)M出發(fā)，點(diǎn)P沿x軸向右運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q沿x軸先向左運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)O后，再向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M停止，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位．以PQ為一邊向上作正方形PRLQ．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），正方形PRLQ與矩形OABC重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位）．
（1）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）分別求當(dāng)t=1，t=5時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)；
（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）連接AC．當(dāng)正方形PRLQ與△ABC的重疊部分為三角形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定為0，橫坐標(biāo)再4的基礎(chǔ)上隨時(shí)間的增加每秒增加1個(gè)單位，所以t秒后的坐標(biāo)是（4+t，0）；
（2）當(dāng)t＜4時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)為2t，當(dāng)t＞4時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)固定不變是8；
（3）分三種情況討論：當(dāng)t＜4時(shí)，s=4t²，當(dāng)t=4時(shí)，s=48，當(dāng)t＞4時(shí)，s=（8-t²）；
（4）結(jié)合一次函數(shù)與題意直接寫出t的取值范圍．

解答：解：（1）∵M(jìn)P=t，OM=4，
∴OP=t+4，
∴P（t+4，0）（0≤t≤8）．
（2）當(dāng)t=1時(shí)，PQ=2×1=2．
當(dāng)t=5時(shí)，OP=9，OQ=5-4=1，
∴PQ=9-1=8．
（3）如圖①，當(dāng)0≤t≤3時(shí)，
∵PQ=2t，
∴S=4t²．
如圖②，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，
∵PQ=2t，AB=6，
∴S=12t．
如圖③，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，
∵AQ=4-（t-4）+4=12-t，AB=6，
∴S=-6t+72．

（4）如圖④，當(dāng)點(diǎn)R在AC上時(shí)，如圖6，

∵RP∥OC，
∴△APR∽△AOC，
∴

AP

OA

=

PR

OC

，
∴

4-t

8

=

2t

6

，
∴t=

12

11

．
當(dāng)點(diǎn)L在AC上時(shí)，如圖7，

同理得出

LQ

OC

=

AQ

OA

，
∴

2t

6

=

4+t

8

，
t=

12

5

，
∴

12

11

＜t≤

12

5

．
如圖⑤，當(dāng)點(diǎn)L在y軸上時(shí)，t=4．

綜上可得：

12

11

＜t≤

12

5

或t=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的綜合題，注意仔細(xì)審題，考慮要全面．