Question

已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，C是x軸上一點，如果∠ABC=∠ACB，
求：（1）點C的坐標；
（2）圖象經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

解：（1）設(shè)點C的坐標是（x，0），根據(jù)題意得
當x=0時，y=；
當y=0時，x=1；
∴A點坐標是（1，0），B點坐標是（0，），
∴（1-0）²+（0-）²=（x-1）²+0²，
解得x=3或-1，
∴C點坐標是（3，0）或（-1，0）；

（2）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式是y=ax²+bx+c，
把（1，0）、（0，）、（3，0）代入函數(shù)得
，
解得，
∴所求函數(shù)解析式是y=x²-x+；
把（1，0）、（0，）、（-1，0）代入函數(shù)得
，
解得，
∴所求函數(shù)解析式是y=-x²+．
故所求的二次函數(shù)的解析式是y=x²-x+或y=-x²+．
分析：（1）先設(shè)點C的坐標是（x，0），分別令x=0、y=0，求出A、B點的坐標，再利用兩點之間距離公式可得（1-0）²+（0-）²=（x-1）²+0²，求解即可求C點坐標；
（2）先設(shè)所求二次函數(shù)的解析式是y=ax²+bx+c，然后分別把（1，0）、（0，）、（3，0）以及（1，0）、（0，）、（-1，0）代入函數(shù)，可得三元一次方程組，求解即可．
點評：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解三元一次方程組．解題的關(guān)鍵是運用坐標系內(nèi)兩點之間距離的公式．