Question

【題目】某校八年級(jí)數(shù)學(xué)小組在課外活動(dòng)中，研究了同一坐標(biāo)系中兩個(gè)反比例函數(shù)與（）在第一象限圖像的性質(zhì)，經(jīng)歷了如下探究過(guò)程：

操作猜想：（1）如圖1，當(dāng)，時(shí)，在y軸的正半軸上取一點(diǎn)A作x軸的平行線交于點(diǎn)B，交于點(diǎn)C．當(dāng)OA＝1時(shí)，＝ ；當(dāng)OA＝3時(shí)，＝ ；當(dāng)OA＝a時(shí)，猜想＝ ．

數(shù)學(xué)思考：（2）在y軸的正半軸上任意取點(diǎn)A作x軸的平行線，交于點(diǎn)B、交于點(diǎn)C，請(qǐng)用含、的式子表示的值，并利用圖2加以證明．

推廣應(yīng)用：（3）如圖3，若，，在y軸的正半軸上分別取點(diǎn)A、D（OD＞OA）作x軸的平行線，交于點(diǎn)B、E，交于點(diǎn)C、F，是否存在四邊形ADFB是正方形？如果存在，求OA的長(zhǎng)和點(diǎn)B的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；2；2；（2），證明見(jiàn)解析；（3）OA=4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）．

【解析】

（1）只需根據(jù)ABOA=2及ACOA=6就可解決問(wèn)題；

（2）由ABOA=k1及ACOA=k2可得BCOA=k2-k1，就可得到；

（3）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），則有DF=DA=AB=a，OA=b，從而可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，a+b）．由k2=12及可求得k1=8．然后根據(jù)點(diǎn)B在y=圖象上，點(diǎn)F在y=圖象上，可得到ab=8，a（a+b）=12，從而求出a、b的值，就可解決問(wèn)題．

（1）當(dāng)OA=1時(shí)，由ABOA=2得AB=2，由ACOA=6得AC=6，則有BC=AC-AB=4，所以；

當(dāng)OA=3時(shí)，由ABOA=2得AB=，由ACOA=6得AC=2，則有BC=AC-AB=，所以；

當(dāng)OA=a時(shí)，猜想：．

（2）．

證明：∵ABOA=k1，ACOA=k2，

∴ACOA-ABOA=BCOA=k2-k1，

∴．

（3）若四邊形ADFB是正方形，

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），

則有DF=DA=AB=a，OA=b，OD=a+b，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，a+b）．

∵k2=12，，

∴，

解得：k1=8．

∵點(diǎn)B在y=圖象上，點(diǎn)F在y=圖象上，

∴ab=8，a（a+b）=12，

∴a2=12-8=4/span>，

∴a=2，

∴b=4，

∴OA=4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）．