Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E為AB中點，點F在CB的延長線上，且EF∥BD．
（1）求證；四邊形OBFE是平行四邊形；
（2）當(dāng)線段AD和BD之間滿足什么條件時，四邊形OBFE是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點O是AC的中點．

又∵點E是邊AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴OE∥BC，

又∵點F在CB的延長線上，

∴OE∥BF．

∵EF∥BD，即EF∥OB，

∴四邊形OBFE是平行四邊形

（2）當(dāng)AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形．

理由：由（1）可知四邊形OBFE是平行四邊形，

又∵AD⊥BD，AD∥BC，且點F在BC的延長線上，

∴FC⊥BD，

∴∠OBF=90°，

∴四邊形OBFE是矩形．

【解析】（1）首先證明OE是△ABC的中位線，推出OE∥BC，由EF∥OB，推薦可提出四邊形OBFE是平行四邊形．（2）當(dāng)AD⊥BD時，四邊形OBFE是矩形． 只要證明∠EOB=90°即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的判定方法的相關(guān)知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．