Question

拋物線y=

1

6

x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標(biāo)為A（2，0），與y軸交于點C（0，2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q（8，m）在拋物線y=

1

6

x2+bx+c上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ+PB的最小值；
（3）以點M（4，0）為圓心、2為半徑，在x軸下方作半圓，CE是過點C的半圓的切線，E為切點，求OE所在直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)拋物線的解析式即可求出點Q的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸方程；易知A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，若連接AQ，那么AQ與拋物線對稱軸的交點即為所求的P點，此時PQ+PB的最小值即為線段AQ的長，可過Q作x軸的垂線，根據(jù)勾股定理即可求出AQ的長；
（3）若CE切⊙M于E，則∠MED=∠COD=90°（D為CE與x軸的交點）；而ME=OC=2，即可證得△DEM≌△DOC，由此可得∠DOE、∠DEO、∠DCM、∠DMC都相等，即CM∥OE；可用待定系數(shù)法求出直線CM的解析式，然后將直線CM向下平移2個單位即可得到直線OE的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

6

x2+bx+c過點A（2，0）和C（0，2），則

c=2 1 6 ×22+2b+c=0

解得

b=- 4 3 c=2

；
∴所求拋物線的解析式為y=

1

6

x2-

4

3

x+2；（2分）

（2）如圖，拋物線對稱軸l是x=4，點B的坐標(biāo)為B（6，0）
∵Q（8，m）拋物線上，
∴m=2（3分）
過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=

AK2+QK2

=2

10

又∵B（6，0）與A（2，0）關(guān)于對稱軸l對稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2

10

；（4分）

（3）連接EM和CM，設(shè)CE交x軸于點D
由已知，得EM=OC=2
∵CE是⊙M的切線，
∴∠DEM=90°，
則∠DEM=∠DOC=90°，
又∵∠ODC=∠EDM
故△DEM≌△DOC（6分）
∴OD=DE，CD=MD；
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC
則OE∥CM
設(shè)CM所在直線的解析式為y=kx+n，CM過點C（0，2），M（4，0），
∴

4k+n=0 n=2

，
解得

k=- 1 2 n=2

；
直線CM的解析式為y=-

1

2

x+2（7分）
又∵直線OE過原點O，且OE∥CM，
則直線OE的解析式為y=-

1

2

x．（8分）

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等知識，綜合性強，難度較大．