Question

如圖，平面直角坐標系中，O為坐標原點，等腰梯形ABCD四個頂點都在拋物線y=ax²+bx+c上，其中點A、B在x軸上，點D在y軸上，且CD∥AB，已知S_梯形ABCD=8，tan∠DAO=4，點B的坐標為（2，0），點E坐標為（0，-1）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若△OEB從點B開始以個單位每秒的速度沿BD向終點D勻速運動．設運動時間為
t秒，在整個運動過程中，當邊OE與線段AD相交時，求運動時間t的取值范圍；
（3）能否將△OEB繞平面內某點旋轉90°后使得△OEB的兩個頂點落在x軸上方的拋物線上？若能，請直接寫出旋轉中心的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰梯形ABCD的面積為8求得點D和點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可；
（2）當點O在線段AD上時和當點E在線段AD上時，利用△DO₁G∽△DAO求得t的值即可；
（3）分為3種情況，①旋轉后OE在拋物線上；②旋轉后OB在拋物線上；③旋轉后BE在拋物線上討論即可得到有四個不同的旋轉中心．
解答：解：（1）在等腰梯形ABCD中，S_梯形ABCD=8，
∴，
∴OD=4，
∴D（0，4），
∵tan∠DAO=4，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
把A（-1，0）、B（2，0）、D（0，4）代入y=ax²+bx+c得，
∴．
∴y=-2x²+2x+4．

（2）當點O在線段AD上時，如圖，
BB₁=t，B₁O₁=2，B₁H=2t，BH=t，
B₁G=2-t，O₁G=2-（2-t）=t
由△DO₁G∽△DAO得

∴，
當點E在線段AD上時，如圖，
BB₁=t，B₁H=2 t，BH=t，
∵B₁O₁=2，
∴E₁G=t，DG=4-（2t-1）=5-2t
由△DO₁G∽△DAO得：

∴
∴；

（3）（-2，2）（，）  （3，）   （-1，），
分為3種情況，①旋轉后OE在拋物線上；②旋轉后OB在拋物線上；③旋轉后BE在拋物線上．
1、旋轉后OE在拋物線上：
設為O′E′，則O′E′平行于x軸，拋物線y=-2x²+2x+4=-2（x-）²+，對稱軸x=，
則x₁=-|OE|=-=0，x₂=+=1．
則兩點為（0，4）、（1，4）．
這時分別：1）O′（0，4）、E′（1，4）．
然后分兩種情況分別作OO'，EE'的中垂線，其交點即為其旋轉中心．
∵OO′的解析式為y=2，易得，EE′的解析式為y=x-1，則EE′的中點坐標為（1，），
其中垂線解析式為y=-x+b，將（1，）代入解析式得，b=，
則解析式為y=-x+，當y=2時，x=-2．
旋轉中心坐標為（-2，2）．
2、旋轉后OB在拋物線上：
OB∥y軸，則O′B′∥x軸，但拋物線y=-2x²+2x+8=-2（x-）²+，不成立．
3、旋轉后BE在拋物線上：
BE邊旋轉90°后所得線段B'E'與BE垂直，直線斜率k_BE=，則k_B'E'=-2．
設旋轉后B'E'所在直線方程為：y=-2x+m．
拋物線：y=-2x²+2x+4，聯(lián)立，解方程，得：
（x，y）=（2，m-4-2）或 （x，y）=（2-，m-4+2）
此為兩交點坐標，求距離使其等于|BE|=2．有：
|BE|=2，從而有m=11，
兩點坐標：（3，5），（1，9）．
然后分1）B′（3，5），E′（1，9）；2）E′（3，5），B′（1，9）兩種情況，
分別作BB′與EE′的垂直平分線，兩者交點即為其旋轉中心．
綜上，同1中解法，共有5種可能性，5個旋轉中心，（-2，2），（-4，4）（5，3）（6，3）（-2，3）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是二次函數(shù)的知識與旋轉、對稱、平移等知識的結合更是近幾年中考的熱點考題之一，難度較大．