(2000•重慶)已知AC、AB是⊙O的弦,AB>AC.
(1)如圖1,能否在AB上確定一點(diǎn)E,使AC2=AE•AB,為什么?
(2)如圖2,在條件(1)的結(jié)論下延長(zhǎng)EC到P,連接PB.如果PB=PE,試判斷PB和⊙O的位置關(guān)系并說明理由.
(3)在條件(2)的情況下,如果E是PD的中點(diǎn),那么C是PE的中點(diǎn)嗎?為什么?

【答案】分析:(1)能找到一點(diǎn)E,使AC2=AE•AB.當(dāng)△ACE∽△ABE時(shí)就有這個(gè)結(jié)論;
(2)在條件(1)的結(jié)論下,PB和⊙O相切.
如圖連接BC,BO,并延長(zhǎng)BO交圓與F,連接AF.利用(1)的結(jié)論可以得到∠ACB=∠AEC.根據(jù)PB=PE,可以得到∠PBE=∠PEB.再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是直角,可以證明∠PBE+∠BAE=90°,從而證明題目結(jié)論;
(3)C是PE的中點(diǎn).根據(jù)切線長(zhǎng)定理可以得到PB2=PC•PD,而E是PD的中點(diǎn),可以得到PE=PD,代入PB2=PC•PD中,變換就可以得到題目結(jié)論.
解答:解:(1)能找到一點(diǎn)E,使AC2=AE•AB.當(dāng)△ACE∽△ABE時(shí)就有這個(gè)結(jié)論;

(2)在條件(1)的結(jié)論下,PB和⊙O相切.
如圖連接BC,BO,并延長(zhǎng)BO交圓與F,連接AF.

∵AC2=AE•AB,
∴△ACE∽△ABC.
∴∠ACB=∠AEC,而PB=PE.
∴∠PBE=∠PEB,而∠ACB+∠F=180°,∠AEC+∠PEB=180°,
∴∠F=∠PEB.
∴∠PBE=∠F,而∠F+∠ABF=90°,
∴∠ABF+∠PBE=90°.
∴PB和⊙O相切.

(3)根據(jù)(2)可以得到PB2=PC•PD.
而E是PD的中點(diǎn),可以得到PE=DE.
∴PE2=(PE-CE)×2PE=2PE2-2PE•CE.
∴PE=2CE,
∴C是PE的中點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):此題首先利用相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到角的關(guān)系;再進(jìn)一步利用這個(gè)角的關(guān)系和直徑所對(duì)的圓周角是直角,切線的判定證明切線,最后利用切線長(zhǎng)定理得到結(jié)論.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2000年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《圓》(06)(解析版) 題型:解答題

(2000•重慶)已知AC、AB是⊙O的弦,AB>AC.
(1)如圖1,能否在AB上確定一點(diǎn)E,使AC2=AE•AB,為什么?
(2)如圖2,在條件(1)的結(jié)論下延長(zhǎng)EC到P,連接PB.如果PB=PE,試判斷PB和⊙O的位置關(guān)系并說明理由.
(3)在條件(2)的情況下,如果E是PD的中點(diǎn),那么C是PE的中點(diǎn)嗎?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2000年全國(guó)中考數(shù)學(xué)試題匯編《圓》(04)(解析版) 題型:填空題

(2000•重慶)如圖,⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P,內(nèi)公切線PC與外公切線AB(A、B分別是⊙O1和⊙O2上的切點(diǎn))相交于點(diǎn)C,已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為3和4,則PC的長(zhǎng)等于   

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2000年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2000•重慶)已知AC、AB是⊙O的弦,AB>AC.
(1)如圖1,能否在AB上確定一點(diǎn)E,使AC2=AE•AB,為什么?
(2)如圖2,在條件(1)的結(jié)論下延長(zhǎng)EC到P,連接PB.如果PB=PE,試判斷PB和⊙O的位置關(guān)系并說明理由.
(3)在條件(2)的情況下,如果E是PD的中點(diǎn),那么C是PE的中點(diǎn)嗎?為什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2000年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

(2000•重慶)如圖,⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P,內(nèi)公切線PC與外公切線AB(A、B分別是⊙O1和⊙O2上的切點(diǎn))相交于點(diǎn)C,已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為3和4,則PC的長(zhǎng)等于   

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案