(2009•大興區(qū)二模)我們知道:將一條線段AB分割成大小兩條線段AC、CB,若小線段CB與大線段AC的長度之比等于大線段AC與線段AB的長度之比,即.這種分割稱為黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點.類似地我們可以定義,頂角為36°的等腰三角形叫黃金三角形,其底與腰之比為黃金數(shù),底角平分線與腰的交點為腰的黃金分割點.
(1)如圖1,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠ACB的角平分線CD交腰AB于點D,請你說明D為腰AB的黃金分割點的理由.
(2)若腰和上底相等,對角線和下底相等的等腰梯形叫作黃金梯形,其對角線的交點為對角線的黃金分割點.如圖2,AD‖BC,AB=AD=DC,AC=BD=BC,試說明O為AC的黃金分割點.
(3)如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為斜邊AB上的高,∠A、∠B、∠ACB的對邊分別為a、b、c.若D是AB的黃金分割點,那么a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系是什么并證明你的結(jié)論.

【答案】分析:(1)(2)要證明某個點為黃金分割點,可以通過證明邊對應(yīng)成比例,也可證明其為頂角為36°的黃金三角形,從而證明其是黃金分割點;
(3)根據(jù)同角的余角相等知,∠ACD∠B,證得△ACB∽△ADC,有,即AC2=AD•AB?b2=AD•c,同理可得a2=BD•c,點D為AB的黃金分割點,有AD2=BD•c,把AD,BD消去即有b2=ac.
解答:證明:(1)在△ABC中,
∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ACB=(180°-∠A)=72度.
∵CD為∠ACB的角平分線,
∠DCB=∠ACB=36°,
∴∠A=∠DCB,
又∵∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,
,
∵∠ABC=∠ACB=72°,
∴∠BDC=∠ABC=72°,
∴BC=CD,
同理可證,AD=CD,
∴BC=DC=AD,
,
∴點D為腰AB的黃金分割點;

(2)在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,AD∥BC,
∴∠ABC=∠DCB.
又∵BC=BC,
∴△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC=α,
∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠BDA=α,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠BDA=α,
∴∠ABC=2α.
∵AC=BC,
∴∠ABC=∠CAB=2α,
在△ABC中,
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴5α=180°,
∴α=36°,
在等腰△ABC中,
∵BO為∠ABC的角平分線,∠ACB=α=36°,
∴O為腰AC的黃金分割點,
;

解:(3)a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系是b2=ac.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠ADC=90°,
∵∠A=∠A,
∴△ACB∽△ADC,
,即AC2=AD•AB,
∴b2=AD•c,
同理可證,a2=BD•c,
∴AD=
BD=
又∵D為AB的黃金分割點,
∴AD2=BD•c③
把①、②代入③得:b4=a2c2,
∵a、c均為正數(shù),
∴b2=ac,
∴a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系為b2=ac.
點評:主要考查學(xué)生對相似三角形的判定和性質(zhì)的理解以及對黃金分割與等腰梯形的性質(zhì)的掌握情況.
練習(xí)冊系列答案
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(2)把△ABC的繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°,得到四邊形AEBC.
①求E點的坐標(biāo);
②試判斷四邊形AEBC的形狀,并說明理由.
(3)試探求:在直線BC上是否存在一點P,使得△PAD的周長最小?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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