如圖,在△ABC中,∠C=90°, AD是∠BAC的平分線,O是AB上一點, 以O(shè)A為半徑的
⊙O經(jīng)過點D。
(1)求證: BC是⊙O切線;
(2)若BD=5, DC=3, 求AC的長。
(1)證明: 如圖1,連接OD.
∵ OA=OD, AD平分∠BAC,
∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD。
∴ ∠ODA=∠CAD。
∴ OD//AC。
∴ ∠ODB=∠C=90°。
∴ BC是⊙O的切線。 圖1
(2)解法一: 如圖2,過D作DE⊥AB于E.
∴ ∠AED=∠C=90°.
又∵ AD=AD, ∠EAD=∠CAD,
∴ △AED≌△ACD.
∴ AE=AC, DE=DC=3。
在Rt△BED中,∠BED =90°,由勾股定理,得 圖2
BE=。
設(shè)AC=x(x>0), 則AE=x。
在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=BD+DC=8, AB=x+4,
由勾股定理,得
x2 +82= (x+4) 2。
解得x=6。
即 AC=6。
解法二: 如圖3,延長AC到E,使得AE=AB。
∵ AD=AD, ∠EAD =∠BAD,
∴ △AED≌△ABD.
∴ ED=BD=5。
在Rt△DCE中,∠DCE=90°, 由勾股定理,得
CE=。
在Rt△ABC中,∠ACB=90°, BC=BD+DC=8, 由勾股定理,得
AC2 +BC2= AB 2。 圖3
即 AC2 +82=(AC+4) 2。
解得 AC=6。
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