Question

如圖（1），拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）．[圖（2）、（3）為解答備用圖]
（1）k=______，點A的坐標為______，點B的坐標為______；
（2）設拋物線y=x²-2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在拋物線y=x²-2x+k上求點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²-2x+k與y軸交于點C（0，-3），
∴k=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
令y=0，則x²-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x+1=0，x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點A的坐標為A（-1，0），點B的坐標為B（3，0）；
故答案為：-3，（-1，0），（3，0）；

（2）如圖（1），∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點為M（1，-4），連接OM，
則△AOC的面積=AO•OC=×1×3=，△MOC的面積=OC•|x_M|=×3×1=，
△MOB的面積=OB•|y_M|=×3×4=6，
∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=++6=9；
（說明：也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面積轉化為求1個梯形與2個直角三角形面積的和．）

（3）如圖（2），過點B作BQ₁⊥BC，交拋物線于點Q₁、交y軸于點E，連接Q₁C，
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3，
∴點E的坐標為（0，3），
∴直線BE的解析式為y=-x+3，
由，
解得，，
∴點Q₁的坐標為（-2，5）；
如圖（3），過點C作CF⊥CB，交拋物線于點Q₂、交x軸于點F，連接BQ₂，
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3，
∴點F的坐標為（-3，0），
∴直線CF的解析式為y=-x-3，
由，
解得，，
∴點Q₂的坐標為（1，-4）．
綜上，在拋物線上存在點Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC為直角邊的直角三角形．
分析：（1）把點C的坐標代入函數解析式，然后求出k的值即可；令y=0，得到關于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再根據點A在點B的左邊，寫出坐標即可；
（2）把拋物線解析式整理成頂點式，然后寫出頂點坐標，再連接OM，分別求出△AOC、△MOC、△MOB的面積，然后根據四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積進行計算即可求解；
（3）因為直角頂點不明確，所以分①點B為直角頂點，設QB與y軸交于點E，根據∠CBO=45°可得∠EBO=45°，然后求出點E的坐標，再利用待定系數法列式求出直線BE的解析式，與拋物線聯立求解即可；②點C為直角頂點，設CQ與x軸交于點F，根據∠CBO=45°可得∠CFB=45°，然后求出點F的坐標，再利用待定系數法列式求出直線CF的解析式，與拋物線聯立求解即可．
點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式，三角形的面積，等腰直角三角形的性質，以及函數圖象交點的求法，（3）題需要注意分直角頂點的不同進行討論求解．