Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，-3），AB⊥x軸，垂足為B，將線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD（其中點A、B的對應(yīng)點分別為點C、D）．設(shè)直線AC與x軸、y軸分別相交于點E、F．
（1）求經(jīng)過B、E、F的拋物線的解析式；
（2）若點M在（1）中的拋物線上，且點M到點B的距離與到點D的距離之差最大，求點M的坐標；
（3）若點G在直線AC上，且點G到點B的距離與到點D的距離之和最小，求此最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知得出B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1），首先求出直線AC的解析式，進而求出點E、F的坐標，再利用交點式求出解析式即可；
（2）首先求出直線BD的解析式為y=k₁x+b₁，再設(shè)點M的坐標為（m，m-1），代入二次函數(shù)解析式求出即可；
（3）首先得出△DGF∽△EOF，求出DP的長，再利用△DPQ∽△EFO，HO=PQ=，PH=OQ=，再利用勾股定理求出最小值BP即可．
解答：解：（1）由題意得B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則  
解得
∴．
∴點E、F的坐標分別是（-5，0），（0，）．
設(shè)所求拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+5），
∴，即a=．
∴．

（2）如圖1，連接BD并延長，與拋物線的交點即為所求點M．
設(shè)直線BD的解析式為y=k₁x+b₁，
則 
解得 
∴y=x-1．
設(shè)點M的坐標為（m，m-1），
∴，
解得m₁=-3，m₂=1 （舍去）．
即點M的坐標為（-3，-4）．

（3）如圖2，作點D關(guān)于直線AC的對稱點P，DP與AC相交于點G，連接BP．則BP長即為所求的最小值．
由（1）知，OE=5，OF=，OD=1，
故DF=，EF=．
∵∠DGF=∠EOF=90°，∠DFG=∠EFO，
∴△DGF∽△EOF．
∴，
∴DG=，GF=．
∴DP=2DG=．
作PQ⊥y軸，PH⊥x軸，垂足分別為Q、H．
同理可證△DPQ∽△EFO，
∴，
∴PQ=，DQ=．
∴HO=PQ=，PH=OQ=．
∴．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)軸對稱得出BP長即為所求的最小值是解題關(guān)鍵．