Question

18、證明不定方程x²+y²-8z=6無整數(shù)解．

Answer 1

分析：假設存在整數(shù)解，即存在正數(shù)a，b，c滿足方程x²+y²-8z=6，a²+b²=8c+6=2（4c+3），則a²，b²奇偶性相同即a，b奇偶性相同，再分別根據(jù)a，b都是偶數(shù)和a，b都是奇數(shù)兩種情況討論即可．

解答：解：假設存在整數(shù)解，即存在正數(shù)a，b，c滿足方程x²+y²-8z=6．
 則：a²+b²=8c+6=2（4c+3），
 于是，a²，b²奇偶性相同即a，b奇偶性相同，
（1）a，b都是偶數(shù)，于是存在整數(shù)，m，n使得：a=2m，b=2n．
則：a²+b²=4m²+4n²=2（4c+3），
則：2（m²+n²）=4c+3，即：一個奇數(shù)等于另一個偶數(shù)，矛盾；
（2）a，b都是奇數(shù)，于是存在整數(shù)，m，n使得：a=2m-1，b=2n-1．
 則：a²+b²=4m²-4m+1+4n²-4n+1=4[m（m-1）+n（n-1）]+2=8c+6
 則：m（m-1）+n（n-1）=2c+1．
由m，m-1使相鄰整數(shù)，n，n-1是相鄰整數(shù)，則：m，m-1必有一個是偶數(shù)，n，n-1必有一個是偶數(shù)．于是：m（m-1）+n（n-1）是偶數(shù)，而2c+1是奇數(shù)，此等式不成立，矛盾．
綜上所述：假設不成立，即方程x²+y²-8z=6沒有整數(shù)解．

點評：本題考查的是同余問題，能利用反證法假設此方程存在整數(shù)解，利用a，b奇偶性相同得出結(jié)論是解答此題的關(guān)鍵．