在△ABC中,∠ACB=45°.點D(與點B、C不重合)為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC.如圖,且點D在線段BC上運動.試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)如果AB≠AC,如圖,且點D在線段BC上運動.(1)中結(jié)論是否成立,為什么?
(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設(shè)AC=,BC=3,CD=x,求線段CP的長.(用含x的式子表示)
(1)CF與BD位置關(guān)系是垂直;
證明如下:AB=AC,∠ACB=45°,∴∠ABC=45°.
由正方形ADEF得AD=AF,∵∠DAF=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC,∴∠ACF=∠ABD.
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.
(2)CF⊥BD.(1)中結(jié)論成立.
理由是:過點A作AG⊥AC交BC于點G,∴AC=AG
可證:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD
(3)過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q,
、冱cD在線段BC上運動時,
∵∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4.∴DQ=4-x,
易證△AQD∽△DCP,∴,∴,
.
、邳cD在線段BC延長線上運動時,
∵∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.
過A作交CB延長線于點G,則.CF⊥BD,
△AQD∽△DCP,∴,∴,
.
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