Question

2．如圖，把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=$4\sqrt{3}$，∠BAD=60°，且AB＞$4\sqrt{3}$．給出下列結(jié)論：
①∠EPF=120°；
②若AP=6，則AE+AF=$8\sqrt{3}$
③若△EFP的三個頂點E，F(xiàn)，P分別在線的AB，AD，AC上運動，則AP的長存在最大值8；
④若△EFP的三個頂點E，F(xiàn)，P分別在線的AB，AD，AC上運動，則AP的長存在最小值4．
以上結(jié)論正確的是①③④．

Answer 1

分析 過點P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到結(jié)論①正確；如圖2，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，證明△ABC≌△ADC，R_t△PME≌R_t△PNF，即可求出AE+AF=8$\sqrt{3}$得出結(jié)論②錯誤；如圖3，當EF⊥AC，點P在EF的右側(cè)時，AP有最大值，即可判斷出③正確；當EF⊥AC，點P在EF的左側(cè)時，AP有最小值解直角三角形即可判斷出④正確．

解答 解：如圖1，過點P作PG⊥EF于G，
∵PE=PF，
∴FG=EG=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，∠FPG=∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPF，
在Rt△FPG中，sin∠FPG=$\frac{FG}{PF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=2∠FPG=120°；故①正確；

如圖2，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC=BC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴PM=PN，
在Rt△PME和Rt△PNF中，$\left\{\begin{array}{l}{PM=PN}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴FN=EM，
在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∴AM=AP•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
同理AN=3$\sqrt{3}$，
∴AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=6$\sqrt{3}$；故②錯誤；

如圖3，當點P在EF右邊時，
∵∠BAD=60°，∠EPF=120°，
∴∠BAD+∠EPF=180°，
∴點A，E，P，F(xiàn)四點共圓，
∴AP是此圓的直徑時，AP最大，
∵PE=PF，
∴EF⊥AC時，AP最大，
設(shè)AC與EF交于點O，
∵PE=PF，
∴OF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，
∵∠FPA=60°，
∴OP=2，
∵∠BAD=60°，
∴∠FAO=30°，
∴AO=6，
∴AP=AO+PO=8，故③正確；

當點P在EF的左側(cè)時，記作P'，
在EF右側(cè)取一點P使∠EPF=∠EP'F=120°，
同理EF⊥AC時，AP最大，AP'最小，
同理AP′=AO-OP=4，
∴最小值是4，故④正確；
故答案為①③④．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，最值問題，等腰三角形的性質(zhì)，解①的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，解②的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，判斷出Rt△PME≌Rt△PNF，解③④的關(guān)鍵是判斷出點A、E、P、F四點共圓得出AP最大和AP'最小．