Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的直線y=-x+4上．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）在所給直角坐標(biāo)系（如圖）中畫出符合已知條件的圖形，求△POA的面積S與自變量x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；
（2）當(dāng)S=

9

2

時(shí)，求點(diǎn)P的位置；
（3）若以P、O、A、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)直接寫出第四個(gè)頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形面積公式得到其面積S與其橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系即可；
（2）將S的值代入解得x的值，然后代入一次函數(shù)的解析式求得y的值后即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）以這三點(diǎn)為三個(gè)頂點(diǎn)的平行四邊形有4個(gè)，注意不要漏掉．

解答：解：（1）如圖；
S=

1

2

OA•y
=

1

2

×3•y=

3

2

y
=

3

2

（-x+4）
=-

3

2

x+6，
即S=-

3

2

x+6，
自變量x的取值范圍為：0＜x＜4；

（2）∵S=-

3

2

x+6，當(dāng)S=

9

2

時(shí)，得
-

3

2

x+6=

9

2

，
解得x=1，y=-x+4=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3），
[或∵S=

3

2

y，∴當(dāng)S=

9

2

時(shí)，得

3

2

y=

9

2

，∴y=3，∴-x+4=3，得x=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）]；

（3）第四個(gè)頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（x+3，y），
或Q（x-3，y），
或Q（3-x，-y）．
圖示如下：其中Q（x+3，y）為圖1；
Q（x-3，y）為圖2與圖3；
Q（3-x，-y）為圖4．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合題，題目中很好的滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中等難度的考題．