Question

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD≌△ABC？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出△PCD并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC，，理由見解析（3）30°

【解析】解：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°�！唷螪=∠ACB。

∵∠A與∠P是所對(duì)的圓周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。

（2）當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC。理由如下：

∵AB，PC是⊙O的半徑，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

畫圖如下：

（3）∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°。

∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴。∴∠ACP=∠ABC=30°。

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC。

（2）由△PCD∽△ABC，可知當(dāng)PC=AB時(shí)，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得。

（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得∠PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得，然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數(shù)，從而求得答案。