1.如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于C(0,-3).
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)D是y軸正半軸上的點(diǎn),OD=3,在線(xiàn)段BD上任取一點(diǎn)E(不與B,D重合),經(jīng)過(guò)A,B,E三點(diǎn)的圓交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F,
①試說(shuō)明EF是圓的直徑;
②判斷△AEF的形狀,并說(shuō)明理由.

分析 (1)將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程,即可求得a、b、c的值;
(2)①由B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出∠CBO=∠OBD=45°,從而得出∠EBF=90°,即可得出EF為圓的直徑;
②利用同圓內(nèi),同弧所對(duì)的圓周角相等,可以找到∠AEF=∠AFE=45°,從而得出△AEF是等腰直角三角形.

解答 解:(1)∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于C(0,-3),
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$,
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2-2x-3.
(2)按照題意畫(huà)出圖形,如下圖,

①∵B點(diǎn)坐標(biāo)(3,0)、C點(diǎn)坐標(biāo)(0,-3),
∴OB=OC=3,
∴△BOC為等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°,
又∵D是y軸正半軸上的點(diǎn),OD=3,
∴△BOD為等腰直接三角形,
∴∠OBD=45°,
∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°,
即∠FBE=90°,
∴EF是圓的直徑.
②∵∠CBO=∠OBD=45°,∠AFE=∠OBD,∠AEF=∠CBO(在同圓中,同弧所對(duì)的圓周角相等),
∴∠AEF=∠AFE=45°,
∴∠FAE=90°,AE=AF,
∴△AEF是等腰直角三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)解析式的求取、圓周角定理、等腰直角三角形的判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

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