Question

如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，且CD=4，求線段MN的長．

 

Answer 1

（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，

∴∠CMN=∠CNM，

∴CM=CN；

（2）解：過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形．

∴HC=DN，NH=DC．

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，

∴MC=3ND=3HC．

∴MH=2HC．

設DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，CD==2x=4，

∴x=．

∴MH=2．

在Rt△MNH中，MN=．

點評：        此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用．