Question

如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點(diǎn)P，從初始位置Ⅰ開(kāi)始，在無(wú)滑動(dòng)的情況下沿?cái)?shù)軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數(shù)軸，且半⊙P與數(shù)軸相切于原點(diǎn)O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數(shù)軸；位置Ⅲ中的MN在數(shù)軸上；位置Ⅴ中的點(diǎn)N到數(shù)軸的距離為3，且半⊙P與數(shù)軸相切于點(diǎn)A．
（1）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時(shí)，點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)為

2π

；
（2）線段OA的長(zhǎng)為

5

3

π+4

．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及MN=4，∠NMP=90°，求出即可．
（2）作NC垂直數(shù)軸于點(diǎn)C，作PH⊥NC于點(diǎn)H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形，在Rt△NPH中，
根據(jù)sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，即可∠NPH、∠MPA的度數(shù)，進(jìn)而可得出

AM

的長(zhǎng)，

解答：解：（1）根據(jù)MN=4，位置Ⅳ中的MN垂直于數(shù)軸，
故紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時(shí)，點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)為：

90π×4

180

=2π；

（2）如圖，作NC垂直數(shù)軸于點(diǎn)C，作PH⊥NC于點(diǎn)H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=

NH

PN

=

1

2

，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
從而

AM

的長(zhǎng)為

60π×2

180

=

2π

3

，于是OA的長(zhǎng)為π+4+

2π

3

=

5

3

π+4．
故答案為：（1）2π；（2）

5

3

π+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是直線與圓的關(guān)系、弧長(zhǎng)的計(jì)算、扇形的面積公式，根據(jù)銳角三角函數(shù)得出∠NPH、∠MPA的度數(shù)是解題關(guān)鍵．