(2012•達(dá)州)如圖,C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn),過(guò)O作OE⊥AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.
(1)求證:PC是⊙O的切線.
(2)若AF=1,OA=2
2
,求PC的長(zhǎng).
分析:(1)連接OC,根據(jù)垂徑定理,利用等角代換可證明∠FAC=∠FCA,然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠FAO=90°,然后即可證明結(jié)論.
(2)先證明△PAF∽△PCO,利用相似三角形的性質(zhì)得出PC與PA的關(guān)系,在Rt△PCO中,利用勾股定理可得出x的值,繼而也可得出PC得長(zhǎng).
解答:(1)證明:連接OC,
∵OE⊥AC,
∴AE=CE,F(xiàn)A=FC,
∴∠FAC=∠FCA,
∵OA=OC(圓的半徑相等),
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA,即∠FAO=∠FCO,
∵FA與⊙O相切,且AB是⊙O的直徑,
∴FA⊥AB,
∴∠FCO=∠FAO=90°,
∵CO是半徑,
∴PC是⊙O的切線;

(2)解:∵PC是⊙O的切線,
∴∠PCO=90°,
又∵∠FPA=∠OPC,∠PAF=90°,
∴△PAF∽△PCO,
PA
PC
=
AF
CO

∵CO=OA=2
2
,AF=1,
∴PC=2
2
PA,
設(shè)PA=x,則PC=2
2
x

在Rt△PCO中,由勾股定理得:(2
2
x)2+(2
2
)2=(x+2
2
)2
,
解得:x=
4
2
7
,
∴PC=2
2
×
4
2
7
=
16
7
點(diǎn)評(píng):此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì),涉及知識(shí)點(diǎn)較多,解答本題要求熟練掌握切線的判定定理及性質(zhì),有一定難度.
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1
9
1
9

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(2012•達(dá)州)如圖1,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2)、點(diǎn)B(-2,0),過(guò)點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.
(1)填空:點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(-1,3)
(-1,3)
,點(diǎn)E的坐標(biāo)為
(-3,2)
(-3,2)

(2)若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A、D、E三點(diǎn),求該拋物線的解析式.
(3)若正方形和拋物線均以每秒
5
個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移,直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時(shí),正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng).
①在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s,求s關(guān)于平移時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)自變量t的取值范圍.
②運(yùn)動(dòng)停止時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

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