Question

14．企業(yè)的工業(yè)廢料處理有兩種方式，一種是運送到垃圾廠進行集中處理，另一種是通過企業(yè)的自身設備進行處理．某企業(yè)去年每月的工業(yè)廢料均為120噸，由于垃圾廠處于調試階段，處理能力有限，該企業(yè)采取兩種處理方式同時進行．1至6月，該企業(yè)向垃圾廠運送的工業(yè)廢料y₁（噸）與月份x（1≤x≤6，且x取整數）之間滿足的函數關系如表：

月份x（月）	1	2	3	4	5	6
運送的工業(yè)廢料y1（噸）	120	60	40	30	24	20

7至12月，該企業(yè)自身處理的工業(yè)廢料y₂（噸）與月份x（7≤x≤12，且x取整數）之間滿足y₂=ax²+c（a≠0），其圖象如圖所示．1至6月，垃圾廠處理每噸工業(yè)廢料的費用z₁（元）與月份x之間滿足函數關系式：z₁=60x，該企業(yè)自身處理每噸工業(yè)廢料的費用z₂（元）與月份x之間滿足函數關系式：z₂=45x-5x²；
7至12月，垃圾廠處理每噸工業(yè)廢料的費用均為120元，該企業(yè)自身處理每噸工業(yè)廢料的費用均為90元．
（1）請觀察題中的表格和圖象，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，分別直接寫出y₁、y₂與x之間的函數關系式；
（2）求該企業(yè)去年哪個月用于工業(yè)廢料處理的費用W（元）最多，并求出這個最多費用；
（3）今年以來，由于企業(yè)的自身設備的全面運行，該企業(yè)決定擴大產能并將所有工業(yè)廢料全部自身處理，估計擴大產能后今年每月的工業(yè)廢料量都將在去年每月的基礎上增加 m%，同時每噸工業(yè)廢料處理的費用將在去年12月份的基礎上增加m%．為鼓勵節(jié)能降耗，減輕企業(yè)負擔，國家財政對該企業(yè)處理工業(yè)廢料的費用進行了50%的補助，若該企業(yè)每月的工業(yè)廢料處理費用為12150元，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用表格中數據可以得出xy=定值，則y₁與x之間的函數關系為反比例函數關系求出即可，再利用函數圖象得出：圖象過（7，19），（12，114）點，求出解析式即可；
（2）利用當1≤x≤6時，以及當7≤x≤12時，分別求出處理污水的費用，即可得出答案；
（3）利用今年每月的污水量都將在去年每月的基礎上增加m%，同時每噸污水處理的費用將在去年12月份的基礎上增加m%，得出等式120（1+m%）×90×（1+m%）×（1-50%）=12150，進而求出即可．

解答 解：（1）根據表格中數據可以得出xy=定值，則y₁與x之間的函數關系為反比例函數關系：
y₁=$\frac{k}{x}$，將（1，120）代入得：
k=1×120=120，
故y₁=$\frac{120}{x}$（1≤x≤6，且x取整數）；
根據圖象可以得出：圖象過（7，19），（12，114）點，
代入y₂=ax²+c（a≠0）得：
$\left\{\begin{array}{l}{49a+c=19}\\{144a+c=114}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-30}\end{array}\right.$，
故y₂=x²-30（7≤x≤12，且x取整數）；
（2）當1≤x≤6，且x取整數時：
W=y₁•z₁+（120-y₁）•z₂=$\frac{120}{x}$•60x+（120-$\frac{120}{x}$）•（45x-5x²），
=-600x²+6000x+1800，
∵a=-600＜0，x=-$\frac{2a}$=5，1≤x≤6，
∴當x=5時，W_最大=16800（元），
當7≤x≤12時，且x取整數時，
W=120×（120-y₂）+90y₂=120×（120-x²+30）+90（x²-30），
=-30x²+15300，
∵a=-30＜0，x=-$\frac{2a}$=0，
當7≤x≤12時，W隨x的增大而減小，
∴當x=7時，W_最大=13830（元），
∵16800＞13830
∴去年5月用于污水處理的費用最多，最多費用是16800元；
（3）由題意得：120（1+m%）×90×[1+m%]×（1-50%）=12150，
整理得：（1+m%）²=$\frac{9}{4}$，
解得：m%=$\frac{3}{2}$+1=2.5（不合題意舍去）或m%=$\frac{3}{2}$-1=0.5，
∴m=50，
答：m的值是50．

點評 此題主要考查了二次函數的應用，利用實際問題列反比例函數關系式和二次函數關系式、求二次函數最值等知識．此題閱讀量較大，得出正確關于m%的等式方程是解題關鍵．