Question

已知關(guān)于x的方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0有實(shí)根，并且所有實(shí)根的乘積為-2，則所有實(shí)根的平方和為

 

．

Answer 1

分析：首先將方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0，通過拆分項(xiàng)、完全平方式、式子相乘法因式分解轉(zhuǎn)化為（x²+x+2）（x²+x+k）=0
．再通過配方法確定x²+x+2≠0，因而只能是x²+x+k=0，根據(jù)一元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系，k=-2，從而解得兩實(shí)數(shù)根．
最后求兩實(shí)數(shù)根的平方和，即是結(jié)果．

解答：解：∵x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0，
?（x⁴+2x³+x²）+[（2+k）x²+（2+k）x]+2k=0，
?x²（x²+2x+1）+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?x²（x+1）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?（x²+x）²+（2+k）（x²+x）+2k=0，
?（x²+x+2）（x²+x+k）=0，
∵x²+x+2=（x+

1

2

）²+

7

4

≠0，
∴只能是x²+x+k=0，
∵方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0所有實(shí)根的乘積為-2，
∴k=-2，即原方程實(shí)根的解等價于x²+x-2=0，
∴兩實(shí)根是-2、1，
所有實(shí)根的平方和=（-2）²+1²=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是將高次方程x⁴+2x³+（3+k）x²+（2+k）x+2k=0通過拆分項(xiàng)、完全平方式、因式分解轉(zhuǎn)化成（x²+x+2）（x²+x+k）=0這一形式，且在因式分解中將整式x²+x看做一個整體．