Question

如圖，弦AB交圓O的直徑CD于點(diǎn)H，且AH=BH，作△AHD關(guān)于直線(xiàn)AD的軸對(duì)稱(chēng)△AED，延長(zhǎng)AE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．
（1）試說(shuō)明：AE為圓O的切線(xiàn)；
（2）已知PA=2，PD=1，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AB⊥CD，求出AE⊥DE，∠ADE=∠ADH，求出∠OAD=∠ADE，推出OA∥DE，求出OA⊥AP，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可；
（2）設(shè)⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，由勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可．
解答：（1）證明：連接OA，
∵CD是直徑，AH=BH，
∴AB⊥CD，
由△AED與△AHD關(guān)于直線(xiàn)AD成軸對(duì)稱(chēng)可知∠AED=∠AHD=90°，∠ADO=∠ADE，
又∵OA=OD（圓的半徑），
∴∠OAD=∠ODA（等邊對(duì)等角），
∴∠OAD=∠ADE（等量代換），
∴OA∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行），
∴∠OAP=90°，
又∵點(diǎn)A在圓上，
∴AE為⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²，
x²+2²=（x+1）²，
解得：x=1.5．
即⊙O的半徑為1.5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，切線(xiàn)的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較典型，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目．