Question

15．如圖所示，AC為⊙O的直徑，PA⊥AC于點A，過點P作⊙O 的切線PB交AC于點D，連接BC，且$\frac{DB}{DP}$=$\frac{DC}{DO}$=$\frac{2}{3}$，則cos∠BCA的值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 連接OB、OP，如圖，利用切線的性質(zhì)得OB⊥PD，利用切線的判定得到PA為⊙O的切線，則利用切線長定理得到PA=PB，設(shè)圓的半徑為r，利用$\frac{DC}{DO}$=$\frac{2}{3}$得到DC=2r，OD=3r，利用勾股定理得到BD=2$\sqrt{2}$r，接著由$\frac{DB}{DP}$=$\frac{2}{3}$得到PB=$\sqrt{2}$r，所以AB=$\sqrt{2}$r，再證明△DBC∽△DPO得到∠BCD=∠POD，則判定BC∥PO得到∠POA=∠ACB，然后利用余弦的定義求出cos∠AOP即可得到cos∠BCA的值．

解答 解：連接OB、OP，如圖，
∵PB為切線，
∴OB⊥PD，
∵PA⊥AD，
∴PA為⊙O的切線，
∴PA=PB，
設(shè)圓的半徑為r，
∵$\frac{DC}{DO}$=$\frac{2}{3}$，
∴DC=2r，OD=3r，
在Rt△BOD中，BD=$\sqrt{（3r）^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
∵$\frac{DB}{DP}$=$\frac{2}{3}$，
∴PB=$\sqrt{2}$r，
∴AB=$\sqrt{2}$r，
∵$\frac{DB}{DP}$=$\frac{DC}{DO}$，
而∠BDC=∠PDO，
∴△DBC∽△DPO，
∴∠BCD=∠POD，
∴BC∥PO，
∴∠POA=∠ACB，
在Rt△OPA中，OP=$\sqrt{（\sqrt{2}r）^{2}+{r}^{2}}$=$\sqrt{3}$r，
cos∠AOP=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{r}{\sqrt{3}r}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠BCA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；再運用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長．也考查了切線的性質(zhì)．